02.05 - Método de transformada inversa

Modelos de Simualción

---

1. Transformada Inversa

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada F(x) y la generación de números pseudoaleatorios $r_i~ U (0 ,1)$. El método consiste en:

1. Definir la función de densidad $F(x)$ que represente la variable a modelar.
2. Calcular la función acumulada $F(x)$.
3. Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acum ulada inversa $F(x)^-1$
4. Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pseudoaleatorios $r_i ~U(0,1)$ en la función acum ulada inversa

---

El método de la transformada inversa también puede emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etcétera. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios $r_i ~U(0,1)$. El métotdo consiste en:

1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar.
2. Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x).
3. Generar números pseudoaleatorios $r_i ~U(0,1)$.
4. Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x corresponde a P(x).

---

Transformada inversa de las principales distribuciones

Distribución uniforme

La función acumulada de la distribución uniforme $U(a,b)$ es:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases}$

La función acumulada inversa es:

$F^{-1}(u) = a + u(b-a)$

---

Para generar un valor aleatorio $X$ a partir de una distribución uniforme $U(2,5)$, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Generar un valor aleatorio $U$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$.
2. Aplicar la transformada inversa: $X = F^{-1}(U) = 2 + U(5-2) = 2 + 3U$.

---

Distribución exponencial

La función acumulada de la distribución exponencial $Exp(\lambda)$ es:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \end{cases}$

La función acumulada inversa es:

$F^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}$

---

Para generar un valor aleatorio $X$ a partir de una distribución exponencial $Exp(0.5)$, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Generar un valor aleatorio $U$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$.
2. Aplicar la transformada inversa: $X = F^{-1}(U) = -\frac{\ln(1-U)}{0.5}$.

---

Distribución normal estándar

La función acumulada de la distribución normal estándar $N(0,1)$ es:

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2} dt$

No existe una fórmula cerrada para la función acumulada inversa de la distribución normal estándar. Sin embargo, se puede utilizar el método de Box-Muller para generar valores aleatorios a partir de esta distribución.

---

El método de Box-Muller consiste en generar dos valores aleatorios $U_1$ y $U_2$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$ y aplicar las siguientes transformaciones:

$Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)$

$Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2)$

Los valores $Z_1$ y $Z_2$ generados son independientes y tienen una distribución normal estándar.

---

Para generar un valor aleatorio $X$ a partir de una distribución normal estándar $N(0,1)$, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Generar dos valores aleatorios $U_1$ y $U_2$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$.

2. Aplicar las transformaciones del método de Box-Muller:

   $Z_1 = \sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)$ $Z_2 = \sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2)$

3. Utilizar uno de los valores generados como el valor aleatorio deseado: $X = Z_1$ o $X = Z_2$.

---

Distribución binomial

La función acumulada de la distribución binomial $Bin(n,p)$ es:

$F(x) = \sum_{k=0}^{x} {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}$

No existe una fórmula cerrada para la función acumulada inversa de la distribución binomial. Sin embargo, se puede utilizar el método de la transformada inversa para generar valores aleatorios a partir de esta distribución.

---

El método de la transformada inversa consiste en aplicar la fórmula general de la transformada inversa:

$X = F^{-1}(U)$

donde $U$ es un valor aleatorio generado a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$ y $F^{-1}$ es la función acumulada inversa correspondiente a la distribución deseada.

---

Para generar un valor aleatorio $X$ a partir de una distribución binomial $Bin(10,0.3)$, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Generar un valor aleatorio $U$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$.
2. Calcular los valores acumulados hasta que se cumpla que $F(k) > U$, donde $k$ es el menor entero tal que se cumple esta condición:

---

$F(0) = 0.0282$ $F(1) = 0.1673$ $F(2) = 0.3839$ $F(3) = 0.6478$ $F(4) = 0.8312$ $F(5) = 0.9326$ $F(6) = 0.9805$ $F(7) = 0.9962$ $F(8) = 0.9997$ $F(9) = 1$ $F(10) = 1$

3. Utilizar el valor de $k$ encontrado como el valor aleatorio deseado: $X = k$.

---

Distribución de Bernoulli

La función acumulada de la distribución de Bernoulli $Bern(p)$ es:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-p, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$

La función acumulada inversa es:

$F^{-1}(u) = \begin{cases} 0, & u < 1-p \\ 1, & u \geq 1-p \end{cases}$

---

Para generar un valor aleatorio $X$ a partir de una distribución de Bernoulli $Bern(0.6)$, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Generar un valor aleatorio $U$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$.

2. Aplicar la transformada inversa:

   $X = F^{-1}(U) = \begin{cases} 0, & U < 0.4 \\ 1, & U \geq 0.4 \end{cases}$

---

Ejemplo con distribución Exponencial

La función acumulada de la distribución exponencial $Exp(\lambda)$ es:

$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \end{cases}$

La función acumulada inversa es:

$F^{-1}(u) = -\frac{\ln(1-u)}{\lambda}$

---

Para generar un valor aleatorio $X$ a partir de una distribución exponencial $Exp(0.5)$, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Generar un valor aleatorio $U$ a partir de una distribución uniforme $U(0,1)$.

2. Aplicar la transformada inversa:

   $X = F^{-1}(U) = -\frac{\ln(1-U)}{0.5}$

Por ejemplo, si generamos un valor aleatorio $U=0.3$, entonces:

$X = -\frac{\ln(1-0.3)}{0.5} \approx 0.693$

Este valor aleatorio tiene una distribución exponencial con parámetro $\lambda=0.5$. Podemos repetir este proceso para generar tantos valores aleatorios como necesitemos para nuestro análisis estadístico.

---